偏微分方程（PDEs）是描述复杂物理系统演化规律的核心数学语言，也是航空航天、先进制造、能源装备、生物医学工程等领域开展数值模拟与工程设计的基础。传统有限元、有限体积、有限差分等数值方法在过去几十年中取得了巨大成功，但面对复杂几何、强非线性、多尺度、多物理场和高维参数空间问题时，仍然面临计算成本高、重复求解耗时长、数据与物理难以融合等挑战。近年来，人工智能与科学计算深度交叉形成的AI for Science正在推动科学研究范式发生深刻变革。其中，利用人工智能方法求解偏微分方程的AI for PDEs，已经成为智能计算力学和科学机器学习领域的重要前沿方向。
近日，清华大学航天航空学院刘应华教授团队围绕AI for PDEs在计算力学中的理论框架、方法体系和工程应用开展系统研究。一方面，团队系统梳理了AI for PDEs在计算力学中的发展脉络，归纳了物理信息神经网络、深度能量法、神经算子和物理信息神经算子等主流算法，并总结其在固体力学、流体力学和生物力学中的应用前景；另一方面，团队进一步提出预训练有限元方法PFEM，将物理信息神经算子与经典有限元求解器相结合，探索了面向未来智能仿真的“预训练模型+经典数值求解器”新范式。
综述工作中，研究团队指出，当前AI for PDEs在计算力学中主要形成了三类代表性范式。第一类是物理信息神经网络PINNs，通过将控制方程、边界条件和初始条件写入损失函数，使神经网络在满足物理约束的条件下逼近 PDE解。第二类是深度能量法DEM，它基于变分原理和最小势能原理构造能量泛函，特别适合弹性力学、断裂力学等具有能量结构的问题。第三类是神经算子和物理信息神经算子，前者学习一类PDE问题从输入函数到解函数之间的映射，后者进一步将控制方程引入神经算子训练过程，从而在减少数据需求的同时提高物理一致性。
图1.AI for PDEs智能计算力学框架在AI for Science中的定位
图2.智能计算力学主要方法体系：PINNs、Operator Learning和Physics-informed Neural Operator
综述进一步指出，AI for PDEs对计算力学的意义体现在两个层面。首先，它可以作为传统数值仿真的加速器，通过代理模型、神经算子和混合求解框架降低重复求解成本。其次，它也为科学发现提供了新的工具，例如从实验或仿真数据中识别未知参数、反演本构关系、提取控制规律等。
在此基础上，研究团队提出了预训练有限元方法PFEM。该方法以Transolver架构为核心，构建基于物理信息神经算子的预训练模型，并将其预测结果作为经典有限元迭代求解器的初始解。
图3.预训练有限元方法PFEM的整体框架。PFEM由物理驱动预训练阶段和warm-start迭代求解阶段组成：前者通过Transolver-based PINO学习一类PDE问题的快速近似解，后者将该近似解作为有限元求解器初始值，从而获得高精度结果并减少迭代成本
与传统神经算子通常依赖结构化网格不同，PFEM直接使用非结构点云作为输入，将空间坐标、几何信息、材料参数和边界条件统一编码，从而能够更灵活地处理复杂几何问题。与此同时，PFEM通过显式有限元微分构造PDE约束，避免了完全依赖自动微分带来的额外开销。该设计使PFEM能够自然嵌入现有有限元框架，并为复杂工程结构的快速预测和高精度校正提供统一接口。
图4.PFEM在线弹性验证结果
图5.PFEM在非线性超弹性问题中的验证结果
图6.PFEM在三维均匀化问题中的验证结果
这一系列工作展示了AI for PDEs在智能计算力学中的系统性发展路径：从理论综述、方法分类和应用图谱出发，进一步走向与经典数值方法深度融合的原创算法框架。
综述成果以“人工智能在计算力学偏微分方程中的应用综述”（Artificial intelligence for partial differential equations in computational mechanics: A review）为题，发表于《应用力学评论》（Applied Mechanics Reviews）。预训练有限元以“预训练有限元方法：基于物理信息神经算子的偏微分方程预训练与热启动框架”（Pretrain finite element method: A pretraining and warm-start framework for PDEs via physics-informed neural operators）为题，发表于《固体力学与物理学杂志》（Journal of the Mechanics and Physics of Solids）。
清华大学航天航空学院2024级博士生王一铮为两项工作的独立第一作者，清华大学航天航空学院教授刘应华为相关工作的通讯作者。研究得到国家自然科学基金重点项目的资助。
